Question

已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
求证：（1）方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根；
（2）设方程x²+px+q=0的两个实数根是x₁，x₂，若|x₁|＜|x₂|，则．

Answer 1

证明：（1）∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴（-2p）²-4×5×5q=0，
整理得6p²-25q=0，即p²=q，且q＞0，
∴对于方程x²+px+q=0，△=p²-4q=q-4q=q，
∵q＞0，
∴△＞0，
∴方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根；

（2）∵6p²-25q=0，
∴q=，
∴x²+px+=0，即25x²+25px+6p²=0，
∴（5x+3p）（5x+2p）=0，
∵|x₁|＜|x₂|，
∴x₁=-，x₂=-，
∴=．
分析：（1）由于一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式的意义得到（-2p）²-4×5×5q=0，则6p²-25q=0，即p²=q，且q＞0，再计算方程x²+px+q=0的△=p²-4q=q-4q=q，由q＞0得到△＞0，可判断方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根；
（2）由6p²-25q=0得q=，代入方程x²+px+q=0整理得到25x²+25px+6p²=0，即（5x+3p）（5x+2p）=0，由于|x₁|＜|x₂|，则x₁=-，x₂=-，即可得到两根的比值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．