Question

【题目】抛物线经过点A（﹣1，0）和B（2，0），直线y＝x+m经过点A和抛物线的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）动点P、Q从点A出发，分别沿线段AC和射线AO运动，运动的速度分别是每秒4个单位长度和3个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒，△APQ的面积为s，求s与t的函数关系式．（不写t的取值范围）

（3）在（2）的条件下，线段PQ交抛物线于点D，点E在线段AP上，且AE＝AQ，连接ED，过点D作DF⊥DE交x轴于点F，当DF＝DE时，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝3；（3）点F坐标为（1，0）

【解析】

（1）利用点A、B坐标，用待定系数法即求得解析式．
（2）根据题意画出PQ，易得以AQ为底来求△APQ面积较容易，故过点P作x轴的垂线PH．利用相似△对应边的比相等，用t表示PH，则写出s与t的关系式．
（3）由DE⊥DF且DF=DE联想到构造相似三角形，故过点D作MN⊥x轴于点N，过点E作EM⊥MN于点M构造△NDF∽△MED，相似比为．设D（d，），F（f，0），再有E的坐标可用t表示，则两相似三角形的边都能用d、t、f表示，且根据相似比为列得两个方程．又由P、Q坐标求得直线PQ的解析式（含t），点D在直线PQ上又满足解析式，列得第三个方程．解三元方程组，即求得f．

（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）和B（2，0），

∴ 解得：

∴抛物线的解析式为 .

（2）设AC与y轴交点为G，过点P作PH⊥x轴于点H，

依题意得：AP＝4t，AQ＝3t

∵直线AC：y＝x+m经过点A（﹣1，0）

∴-+m＝0，得m＝

∴直线AC解析式为：y＝x+

∴G（0，），OG＝

∴AG＝=2

∵GO∥PH

∴△AGO∽△APH

∴=

∴PH＝= =2t

∴s＝AQPH＝t=3

（3）过点D作MN⊥x轴于点N，过点E作EM⊥MN于点M，作ER⊥x轴于点R

∴四边形EMNR是矩形，△AGO∽△AER

∴==

∵AE＝AQ＝3t，AG＝2，GO＝，AO＝1

∴MN＝ER＝t，AR＝

∴E（﹣1+，t）

设点D（d，），F（f，0）

∴EM＝d﹣（﹣1+）＝d+1﹣，MD＝t-，DN＝，FN＝d﹣f

∵DE⊥DF

∴∠EMD＝∠EDF＝∠DNF＝90°

∴∠MED+∠MDE＝∠MDE+∠NDF＝90°

∴∠NDF＝∠MED

∴△NDF∽△MED

∴ = = =

∴DN＝EM，FN＝MD

∴=(d+1-)①

d﹣f＝[-()]②

∵P（﹣1+2t，2t），Q（﹣1+3t，0）

∴直线PQ解析式为：y＝﹣2x+6t﹣2

∵点D为PQ与抛物线交点

∴﹣2d+6t﹣2=③

把①③联立方程组解得： ,（舍去）

∴由②得：f＝+d--t＝1

∴点F坐标为（1，0）