Question

⊙O中，CD为直径，CD⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，以C为端点作两条射线，一条交⊙O、弦AB分别为F、H，另一条交⊙O、弦AB分别为G、K．求证：CF•CH=CG•CK．
（2）如图2，若以C为端点的两条射线，一条交⊙O、直线AB分别为F、H，另一条交⊙O、直线AB分别为G、K．问结论CF•CH=CG•CK是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接DF，DG，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠F=90°，
又∵直径CD⊥弦AB，∴∠CEH=90°，
∴∠CEH=∠F．
又∵∠CEH=∠DCF，
∴△HCE∽△DCF，
∴，
∴CF•CH=CE•CD．
同理：CG•CK=CE•CD，
∴CF•CH=CG•CK；

（2）解：连接DF，DG，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠F=90°，
又∵直径CD⊥弦AB，∴∠CEH=90°，
∴∠CEH=∠F．
又∵∠CEH=∠DCF，
∴△HCE∽△DCF，
∴，
∴CF•CH=CE•CD．
同理：CG•CK=CE•CD，
∴CF•CH=CG•CK．
分析：（1）连接DF，DG，由CD为⊙O的直径可以得到∠F=90°，又CD为直径，CD⊥AB，垂足为E得到∠AEH=90°，所以∠CEH=∠F，然后利用已知条件可以证明△HCE∽△DCF，接着利用相似三角形的性质得到，变形为CF•CH=CE•CD．同理得到CG•CK=CE•CD，由此即可解决问题；
（2）成立．证明过程同（1）．
点评：本题考查了在圆中证明等积式成立，此类题目证明的思路是将等积式转化为比例式，再找三角形，证明三角形相似即可．