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已知,如图,ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1),解答下列问题:

(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形?
(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半,若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由
(4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分?若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由
解:(1)若四边形AQDM是平行四边形,则PA=PD,反之也成立,
∵AD=3,PA=3t,∴PD=3-3t。
∴3t=3-3t,解得
∴当时,四边形AQDM是平行四边形。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD。∴∠MAP=∠QDP。
又∵∠MPA=∠QPD,∴△MAP∽△QDP。
。∴,解得
∵AB=CD=1,∴
∵MN⊥BC,∠B=45°,∴。∴
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC。
又∵MN⊥BC,∴MN⊥AD。


∴y与t之间的函数关系式为(0<t<1)。
(3)存在。
假设存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半, 则
,即,解得(舍去)。
∴当时,四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半。
(4)存在。
假设存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分,
设NP与AC相交于点E,则AE:EC=或AE:EC=
当AE:EC=时,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC。∴△APE∽△CNE。
。∴,解得
当AE:EC=时,
同理可得:,即,解得:
∴当时,NP与AC的交点把线段AC分成的两部分。

试题分析:(1)根据若四边形AQDM是平行四边形,则PA=PD,列式即可得解。
(2)应用相似三角形和锐角三角函数的知识求出,从而应用转换思想,由
即可求得y与t之间的函数关系式。
(3)假设存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半, 则,解出即可。
(4)假设存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分, 设NP与AC相交于点E,则分AE:EC=和AE:EC=两种情况讨论即可。
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