Question

（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在?ABCD中，对角线交点为O，A₁、B₁、C₁、D₁分别是OA、OB、OC、OD的中点，A₂、B₂、C₂、D₂分别是OA₁、OB₁、OC₁、OD₁的中点，…，以此类推．
若?ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？

Answer 1

考点：三角形中位线定理,规律型：图形的变化类,平行四边形的性质

专题：压轴题,规律型

分析：（1）作出图形，延长DE至F，使EF=DE，然后根据“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CF，然后证明四边形BCFD是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得DF∥BC且DF=BC，然后整理即可得证；
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形A₁B₁C₁D₁的周长等于?ABCD周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可得解；
（3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可．

解答：解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE=

1

2

BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF=DE，
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，

DE=EF ∠AED=∠CEF AE=CE

，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD=CF（全等三角形对应边相等），
∠A=∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF=BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE=EF=

1

2

DF，
∴DE∥BC且DE=

1

2

BC；

（2）∵A₁、B₁、C₁、D₁分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴A₁B₁=

1

2

AB，B₁C₁=

1

2

BC，C₁D₁=

1

2

CD，A₁D₁=

1

2

AD，
∴四边形A₁B₁C₁D₁的周长=

1

2

×1=

1

2

，
同理可得，四边形A₂B₂C₂D₂的周长=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
四边形A₃B₃C₃D₃的周长=

1

2

×

1

4

=

1

8

，
…，
∴四边形的周长之和l=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…；

（3）由图可知，

1

2

+

1

4

+

1

8

+…=1（无限接近于1），
所以l=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+…=2（无限接近于2）．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的证明，利用面积法求等比数列的和，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键，（3）仔细观察图形得到部分与整体的关系是解题的关键．