Question

10．如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE和CD相交于点O．
（1）请说明∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）若∠A=60°，试猜想BC、CE、BD三条线段之间有何关系？并说明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据角平分线的性质求出∠OBC+∠0CB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠B0C的度数；
（2）连接OA，作OF⊥AB于点F，0G⊥AC于点G，0H⊥BC于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OF=OG=OH，从而可得△BOF和△BOH全等，△COG和△COH全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=BF，CH=CG，再根据四边形的内角和求出∠FOG=120°，根据对顶角相等求出∠EOD=120°，然后推出∠EF=∠DIG，再利用“角边角”证明△DOF和△EOG全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EG，OE=OD，即可求解．

解答 （1）证明：∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
又∵BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠0BC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（2）解：如图，

连接OA，作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
∵△ABC的两条角平分线BE、CD交于O，
∴OF=OG=OH，
利用“HL”可得△BOF≌△BOH，△COG≌△COH，
∴BH=BF，CH=CG，
在四边形AFOG中，∠FOG=360°-60°-90°×2=120°，
∴EOG=∠EOD-∠EOF=120°-∠EOF，
又∵∠EOD=∠BOC=120°，
∴∠DOF=∠EOD-∠EOF=120°-∠EO，
∴∠DOF=∠EOG，
在△DOF和△EOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOF=∠EOG}\\{OF=OG}\\{∠DFO=∠EGO=90°}\end{array}\right.$，
∴△DOF≌△EOG（ASA），
∴DF=EG，OD=OE，
∴BC=BH+CH=BF+CG=BD+DF+CE-EG=CE+BD，
即BC=CE+BD．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，并根据∠A=60°推出，∠FOG=∠EOD=120°，从而证明得到∠DOF=∠EOG是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点．