Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点（AOAB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x23x20的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.

（1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(1，0)，C(-3，0)；(2) （3）存在，点Q的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，）.

【解析】

（1）根据方程求出AO、AB的长，再由AB：AC=1:2求出OC的长，即可得到答案；

（2）分点M在CB上时，点M在CB延长线上时，两种情况讨论S与t的函数关系式；

（3）分AQ=AB,BQ=BA,BQ=AQ三种情况讨论可求点Q的坐标.

（1）x23x20，

（x-1）（x-2）=0，

∴x1=1，x2=2，

∴AO=1，AB=2，

∴A(1，0)， ，

∵AB：AC=1:2,

∴AC=2AB=4，

∴OC=AC-OA=4-1=3，

∴C(-3，0).

(2) ∵,

∴,

∵,

∴,

∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90，

由题意得：CM=t，BC=,

当点M在CB上时， ，

②当点M在CB延长线上时， （t＞）.

综上，.

（3）存在，

①当AB是菱形的边时，如图所示，

在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，∴ Q1(-1，0)，

在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，∴Q2(1，2)，

在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，∴Q3(1，-2)；

②当AB为菱形的对角线时，如图所示，

设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，

，

解得x=，

∴Q4（1，）.

综上，平面内满足条件的点Q的坐标为(-1，0)，(1，2)，(1，-2)，（1，）.