Question

14．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AB的中点，点E在BC的延长线上，点F在AC边上，∠EDF=45°．
（1）求证：△DEF∽△ADF；
（2）若AC=4，EF⊥AB，求△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，先证明△ADF∽△BED，推出$\frac{DF}{DE}$=$\frac{AF}{DB}$，得到$\frac{DF}{AF}$=$\frac{DE}{AD}$，由∠A=∠EDF即可证明．
（2）延长EF交AB于M，AC与DE交于点G，将△CDG绕点D逆时针旋转90°得到△ADN，连接FN．先证明△DFG≌△DFN，设AF=CG=x，则FG=FN=4-2x，求出EF、DM即可解决问题．

解答 （1）证明：连接CD．

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB
∴AD=CD=BD，CD⊥AB
∴∠A=∠B=∠ACD=45°，∠ADC=90°，
∵∠ADE=∠B+∠DEB=∠ADF+∠EDF，∠EDF=45°，
∴∠ADF=∠DEB，∵∠A=∠B，
∴△ADF∽△BED，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{AF}{DB}$，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{DE}{AD}$，
∵∠A=∠EDF，
∴△DEF∽△ADF．

（2）如下图，延长EF交AB于M，AC与DE交于点G，将△CDG绕点D逆时针旋转90°得到△ADN，连接FN．

∵EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC=∠ADF，
∵AD=CD，∠A=∠DCG，
∴△ADF≌△CDG，
∴AF=CG，
∵DG=DN，DF=DF，∠FDG=∠NDF=45°，
∴△DFG≌△DFN，
∴FG=FN，设AF=CG=x，则FG=FN=4-2x，
在Rt△AFN中，x²+x²=（4-2x）²，
解得x=4-2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$（舍弃），
∴AM=MF=2$\sqrt{2}$-2，DM=2，
∵CD∥EM，
∴$\frac{CD}{EM}$=$\frac{BD}{BM}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{EM}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}$，
∴EM=2+2$\sqrt{2}$，EF=4，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×EF×DM=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．