Question

19．如图，AB⊥AC，AB=AC，⊙0为△ADC的外接圆，E为⊙0上一点．∠DCE=45°．设∠ACD的度数为α，∠DEB的度数为β．
（1）求β关于α的函数表达式．
（2）当α为何值时，BE与⊙0相切？

Answer 1

分析 （1）连结AE，作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，根据圆周角定理先判断CD为△ADC的外接圆⊙O的直径，则∠CED=90°，则△CDE为等腰直角三角形，所以EC=ED，于是可判断AE平分∠BAC，根据角平分线的性质得EM=EN，易得四边形AMEN为正方形，得到AM=AN，再证明Rt△ECM≌Rt△EDN得CM=DN，利用AC=AB得到CM=BN，则DN=BN，接着判断△EDB为等腰三角形，则∠B=∠EDB，根据圆内接四边形的性质得∠EDB=∠ACE=45°+α，则∠B=45°+α，然后根据三角形内角和定理可得到β与α的关系式；
（2）连结OE，如图2，由△CDE为等腰直角三角形可得∠OED=45°，根据切线的判定定理，当OE⊥BE时，BE与⊙0相切，则β=45°，然后利用由（1）的结论可计算出此时α的值．

解答 解：（1）连结AE，作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴CD为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
而∠DCE=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴EC=ED，
∴AE平分∠BAC，
∴EM=EN，
∴四边形AMEN为正方形，
∴AM=AN，
在Rt△ECM和Rt△EDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=ED}\\{EM=EN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ECM≌Rt△EDN，
∴CM=DN，
∵AC=AB，即AM+CM=AN+BN，
∴CM=BN，
∴DN=BN，
而EN⊥DB，
∴△EDB为等腰三角形，
∴∠B=∠EDB．
∵∠EDB=∠ACE=45°+α，
∴∠B=45°+α，
在△EDB中，β+2（45°+α）=180°，
∴β=90°-2α；
（2）连结OE，如图2，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴∠OED=45°，
当OE⊥BE时，BE与⊙0相切，
此时β=45°，
由（1）得45°=90°-2α，
∴α=22.5°，
即α为22.5°时，BE与⊙0相切．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形全等得判断与性质．