Question

如图有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现在要截成一个矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上，当MN多长时，矩形MPCN的面积有最大值，并请你求出这个最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,直角梯形

专题：

分析：延长BA和CD交于O，证△ODA∽△OCB，得出

AD

BC

=

OD

OC

，求出OD=

18

5

，OC=9.6，证△ONM∽△OCB，求出CN=-1.2x+9.6，根据矩形MPCN的面积S=x（-1.2x+9.6）=-1.2（x-4）²+19.2，即可得出答案．

解答：解：
延长BA和CD交于O，
∵AD∥BC，
∴△ODA∽△OCB，
∴

AD

BC

=

OD

OC

，
∴

3

8

=

OD

0D+6

，
OD=

18

5

，
∴OC=6+

18

5

=9.6，
∵四边形CNMP是矩形，
∴MN∥CP，
∴△ONM∽△OCB，
∴

ON

OC

=

MN

BC

，
∴

9.6-CN

9.6

=

x

8

，
∴CN=-1.2x+9.6，
∴矩形MPCN的面积S=x（-1.2x+9.6）=-1.2x²+9.6x=-1.2（x-4）²+19.2
当MN=4cm时，面积最大．最大面积为19.2cm²．

点评：本题考查了二次函数的最值，矩形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力．