Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若AC=6，cos∠BAC=

3

5

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接BC，OC，根据圆周角定理和弦切角定理可证得∠DAC=∠BAC；
（2）根据已知条件得

AC

AB

，从而求得AB的长．

解答：证明：（1）连接BC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠ACD=∠B，∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BAC；

（2）∵cos∠BAC=

3

5

，
∴

AC

AB

=

3

5

，
∵AC=6，
∴AB=10，
故⊙O的直径为10．

点评：本题考查了弦切角定理和圆周角定理以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．