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    （1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；
    （2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求
    EF
    GH
    的值；
    （3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求
    EF
    GH
    的值．
    分析：（1）关键正方形的性质就可以求出AE=DH，进而可以得出△ABE≌△DAH，再由全等三角形的性质就可以得出结论；
    （2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN≌△GHM，就可以得出EF=GH，从而得出结论；
    （3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN∽△GHM，就可以得出
    EF
    GH
    =
    EN
    GM
    ，从而得出结论；
    解答：解：（1）BE=AH，BE⊥AH
    理由：∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠D=90°．
    ∵DE=CH，
    ∴AD-DE=CD-CH，
    即AE=DH．
    ∵在△ABE和△DAH中
    AB=DA
    ∠DAB=∠D
    AE=DH
    ，
    ∴△ABE≌△DAH（SAS），
    ∴∠AEB=∠AHD．BE=AH，
    ∵∠DAH+∠AHD=90°，
    ∴∠DAH+∠AEB=90°．
    ∴∠AFE=90°
    ∴AH⊥BE．
    ∴BE、AH这两条小路长度和位置分别是BE=AH，BE⊥AH；

    （2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，
    ∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD
    ∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．
    ∵EF⊥GH，
    ∴∠EQH=90°．
    ∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，
    ∴∠PEQ=∠MGQ．
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=CD，
    ∴GM=EN．
    在△ENF和△GMH中，
    ∠ENF=∠GMH
    EN=GM
    ∠PEQ=∠MGQ
    ，
    ∴△ENF≌△GMH，
    ∴EF=GH，
    ∴
    EF
    GH
    =1；

    （3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，
    ∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD
    ∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．
    ∵EF⊥GH，
    ∴∠EQH=90°．
    ∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，
    ∴∠PEQ=∠MGQ．
    ∴△ENF∽△GMH，
    ∴
    EF
    GH
    =
    EN
    GM
    ．
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AB=CD，AD=BC，
    ∵EN⊥BC，GM⊥CD，
    ∴EN=AB=a，GM=AD=b，
    ∴
    EF
    GH
    =
    a
    b
    ．
    点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，本题是一道由特殊到一般的试题，利用相似三角形的性质是关键．
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