Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是Rt△ABC的角平分线，若点M、N分别是线段AD和边AC上的动点，则MC+MN的最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 首先过点C作CE⊥AB交AB于点E，交AD于点M，过点M作MN⊥AC于点N，由AD是∠BAC的平分线．得出MN=ME，可得此时MC+MN有最小值，即CE的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AC•BC，得出CE的值，即MC+MN的最小值．

解答 解：如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E，交AD于点M，过点M作MN⊥AC于点N，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴MN=ME，则此时MC+MN有最小值，即CE的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
即MC+MN的最小值为$\frac{24}{5}$．
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 此题考查了最短路径问题．注意准确找到点M与N的位置是解此题的关键．