Question

如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，AD=2，点P为梯形内部一点，若PB=PC，且PA⊥PD．
（1）求证：PA=PD；
（2）求PA的长．

Answer 1

解：
（1）解法一：
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB．
又PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABP=∠DCP．
∴△ABP≌△DCP．
∴PA=PD．
解法二：∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
∵线段BC的垂直平分线也是等腰梯形ABCD的边AD的垂直平分线，
即点P也在线段AD的垂直平分线上，
∴PA=PD．

（2）在Rt△PAD中，PA²+PD²=AD²
即：2PA²=2²
．
分析：（1）因为AB=CD，BP=CP，所以∠ABC=∠DCB，∠PBC=∠PCB从而得出∠ABP=∠DCP，再利用SAS判定△ABP≌△DCP即可得到PA=PD．
（2）在Rt△PAD中，已知AD=2，根据勾股定理即可得到PA的值．
点评：此题考查了学生对等腰梯形的性质及勾股定理等知识点的掌握情况，要求学生做题时要根据实际情况对已知进行灵活运用从而求解．