Question

设[x]表示不大于x的最大整数．求方程x×[

11

x

]=12的解的个数及所有解x．

Answer 1

考点：取整计算

专题：新定义,分类讨论

分析：当x＞0时，由题可得[

11

x

]≤

11

x

＜

12

x

，从而得到x[

11

x

]＜12，因而原方程的解只可能是负数．然后只需对[

11

x

]分别取-1、-2、-3、…进行讨论，就可解决问题．

解答：解：当x＞0时，[

11

x

]≤

11

x

＜

12

x

，
则有x[

11

x

]＜12．
因而方程x[

11

x

]=12的解只可能是负数．
（1）当x≤-11时，[

11

x

]=-1．
则原方程为-x=12．
解得：x=-12．
（2）当-11＜x≤-

11

2

时，[

11

x

]=-2．
则原方程为-2x=12．
解得：x=-6．
（3）当-

11

2

＜x≤-

11

3

时，[

11

x

]=-3．
则原方程为-3x=12．
解得：x=-4．
（4）当-

11

3

＜x≤-

11

4

时，[

11

x

]=-4．
则原方程为-4x=12．
解得：x=-3．
（5）当-

11

4

＜x≤-

11

5

时，[

11

x

]=-5．
则原方程为-5x=12．
解得：x=-

12

5

．
（6）当-

11

5

＜x≤-

11

6

时，[

11

x

]=-6．
则原方程为-6x=12．
解得：x=-2．
（7）当-

11

6

＜x≤-

11

7

时，[

11

x

]=-7．
则原方程为-7x=12．
解得：x=-

12

7

．
（8）当-

11

7

＜x≤-

11

8

时，[

11

x

]=-8．
则原方程为-8x=12．
解得：x=-

3

2

．
（9）当-

11

8

＜x≤-

11

9

时，[

11

x

]=-9．
则原方程为-9x=12．
解得：x=-

4

3

．
（10）当-

11

9

＜x≤-

11

10

时，[

11

x

]=-10．
则原方程为-10x=12．
解得：x=-

6

5

．
（11）当-

11

10

＜x≤-1时，[

11

x

]=-11．
则原方程为-11x=12．
解得：x=-

12

11

．
（12）当-

11

n

＜x≤-

11

n+1

时，[

11

x

]=-（n+1）．（n≥11，n为整数）
则原方程为-（n+1）x=12．
解得：x=-

12

n+1

．
∵n≥11，∴

11

n

≤

12

n+1

．
∴-

11

n

≥-

12

n+1

．
∴x≠-

12

n+1

．
综上所述：原方程共有11个解，原方程的解分别是-12、-6、-4、-3、-

12

5

、-2、-

12

7

、-

3

2

、-

4

3

、-

6

5

、-

12

11

．

点评：本题主要考查了分类讨论的数学思想，运用分类讨论的思想可以化繁为简，化难为易．而对负整数[

11

x

]依次取-1、-2、-3、…进行讨论是解决本题的关键．