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设[x]表示不大于x的最大整数.求方程x×[
11
x
]=12
的解的个数及所有解x.
考点:取整计算
专题:新定义,分类讨论
分析:当x>0时,由题可得[
11
x
]≤
11
x
12
x
,从而得到x[
11
x
]<12,因而原方程的解只可能是负数.然后只需对[
11
x
]分别取-1、-2、-3、…进行讨论,就可解决问题.
解答:解:当x>0时,[
11
x
]≤
11
x
12
x

则有x[
11
x
]<12.
因而方程x[
11
x
]=12的解只可能是负数.
(1)当x≤-11时,[
11
x
]=-1.
则原方程为-x=12.
解得:x=-12.
(2)当-11<x≤-
11
2
时,[
11
x
]=-2.
则原方程为-2x=12.
解得:x=-6.
(3)当-
11
2
<x≤-
11
3
时,[
11
x
]=-3.
则原方程为-3x=12.
解得:x=-4.
(4)当-
11
3
<x≤-
11
4
时,[
11
x
]=-4.
则原方程为-4x=12.
解得:x=-3.
(5)当-
11
4
<x≤-
11
5
时,[
11
x
]=-5.
则原方程为-5x=12.
解得:x=-
12
5

(6)当-
11
5
<x≤-
11
6
时,[
11
x
]=-6.
则原方程为-6x=12.
解得:x=-2.
(7)当-
11
6
<x≤-
11
7
时,[
11
x
]=-7.
则原方程为-7x=12.
解得:x=-
12
7

(8)当-
11
7
<x≤-
11
8
时,[
11
x
]=-8.
则原方程为-8x=12.
解得:x=-
3
2

(9)当-
11
8
<x≤-
11
9
时,[
11
x
]=-9.
则原方程为-9x=12.
解得:x=-
4
3

(10)当-
11
9
<x≤-
11
10
时,[
11
x
]=-10.
则原方程为-10x=12.
解得:x=-
6
5

(11)当-
11
10
<x≤-1时,[
11
x
]=-11.
则原方程为-11x=12.
解得:x=-
12
11

(12)当-
11
n
<x≤-
11
n+1
时,[
11
x
]=-(n+1).(n≥11,n为整数)
则原方程为-(n+1)x=12.
解得:x=-
12
n+1

∵n≥11,∴
11
n
12
n+1

∴-
11
n
≥-
12
n+1

∴x≠-
12
n+1

综上所述:原方程共有11个解,原方程的解分别是-12、-6、-4、-3、-
12
5
、-2、-
12
7
、-
3
2
、-
4
3
、-
6
5
、-
12
11
点评:本题主要考查了分类讨论的数学思想,运用分类讨论的思想可以化繁为简,化难为易.而对负整数[
11
x
]依次取-1、-2、-3、…进行讨论是解决本题的关键.
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2
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解不等式组
5x-1>3(x+1)
1
2
x-1≤7-
3
2
x
,并把解集表示在数轴上.

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,与y轴交点B的坐标为
 
,OA=
 
,OB=
 
,S△AOB=
 

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