Question

8．如图所示，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE延长线于G，GF与AC于M，求证：BG=AF+FG．

Answer 1

分析 过C作AB的平行线交AF的延长线于P，证明△ABE≌△CAP，△MCF≌△PCF，得BE=AP．MF=PF，EG=MG，即可推出答案．

解答 证明：如图，过点C作CP∥AB，交AF的延长线于点P，

在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAP+∠ABE=90°，∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC，
又∵AB∥PC，
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P．
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC
在△ABE和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAP}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAP（ASA），
∴BE=AP．
∵CP∥AB，∠ACP=90°，∠ACB=45°，
∴∠MCF=∠PCF=45°，
在△MCF和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMC=∠P}\\{∠MCF=∠PCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△MCF≌△PCF（AAS），
∴MF=PF，∠P=∠FMC，
又∵∠FMC=∠GME，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，
则BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG

点评 本题考查学生对等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是过C作AB的平行线交AF的延长线于P，证明△ABE≌△ACP，△MCF≌△PCF．