Question

（1）解分式方程：

x

x+1

+6•

x+1

x

-5=0．
（2）已知在同一直角坐标系中，一次函数y=-x+4和反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象有两个不同的交点P_l（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂），且x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）本题解答时需将

x

x+1

看成整体，然后将分式方程化成一元二次方程，最后再求解；
（2）把y=-x+4代入反比例函数解析式y=

k

x

消去y，得到一个一元二次方程，再根据根与系数的关系代入x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，即可求得k的值，最后要检验．

解答：解：
（1）设

x

x+1

=y，
则原方程变为y+

6

y

-5=0，即y²-5y+6=0，
解得y₁=2，y₂=3，
则

x

x+1

=2，解得：x=-2，

x

x+1

=3，解得：x=-

3

2

，
经检验都是原方程的根，
所以原方程的根为x₁=-2，x₂=-

3

2

；
（2）根据题意可知：由方程y=-x+4和反比例函数y=

k

x

（k≠0）消去y，
得：x²-4x+k=0，
由根与系数的关系可得：x₁+x₂=4，x₁•x₂=k，
则由x₁²+x₂²+8x₁x₂-x₁²x₂²=0，
得（x₁+x₂）²+6x₁•x₂-（x₁•x₂）²=0，即k²-6k-16=0，
解得：k₁=-2，k₂=8，
又∵方程有两个不同的解，
∴b²-4ac＞0，
∴k＜4，
∴k=-2是本方程的解．

点评：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；分式方程一定注意要验根；第二题解决的关键是利用消元的方法把函数图象交点坐标的问题转化为一元二次方程的问题，利用根与系数的关系求解．