在直角△ABC中,∠C=90°,直角边BC与直角坐标系中的x轴重合,其内切圆的圆心坐标为P(0,1),若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A.求:
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向;
(2)用k表示B点的坐标;
(3)当k取何值时,∠ABC=60°?
分析:(1)对二次函数式进行变形,可得y=k(x+1)2+(1-k),即得顶点坐标A(-1,1-k),对称轴就是x=-1,又x=0时,y=1,说明函数经过(0,1),也就是二次函数的开口必然向下,即k<0;
(2)用k的代数式分别表示AC、BC、AB,利用勾股定理可得相等关系,可求出OB,即得B点坐标;
(3)在Rt△ABC中利用∠ABC的正切值,可求出k的值,注意k<0.
解答:解:(1)∵y=kx
2+2kx+1
∴对称轴x=-1,易见抛物线是以Rt△ABC的直角边AC所在直线为对称轴,
由题易得A(-1,1-k),又当x=0时,y=1
即抛物线过p(0,1),
故k<0开口向下.(4分)
(2)如图,
AC=1-K BC=CO+OB=1+OB AB=AD+BD=AE+OB=AC-CE+OB=OB-k
由勾股定理得(1-k)
2+(1+OB)
2=(OB-k)
2?OB=?B(,0)(4分)
(3)∵∠ABC=60°,
∴
tan∠ABC=又
tan∠ABC==∴
k2+2k-1=0∴
k^=-+2,
k2=--2又∵k<0
∴
k=--2.(4分)
点评:本题利用了二次函数的解析式可以变形,勾股定理,以及三角函数,解一元二次方程等知识.