Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，0）、B（2，$\frac{16}{5}$），且抛物线过点C（0，$\frac{16}{5}$）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是位于直线AB上方抛物线上的一个动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值即可；
（2）过点P作PQ⊥x轴，垂足为E，交直线AB与点Q，作BD⊥x轴，垂足为D．先求得直线AB的解析式，设点P（x，-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{16}{5}$），则Q（x，$\frac{4}{5}$x+$\frac{8}{5}$），然后依据S_△ABP=S_△APQ+S_△BPQ得到△ABP的面积与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质可求得当△ABP的面积有最大值时，x的值，从而可求得点P的坐标．
（3）当∠BAM=90°时，如图2所示：先求得AH、GH的值，然后证明△AHG∽△MHA，依据相似三角形的性质得到$\frac{GH}{AH}$=$\frac{AH}{HM}$，从而可求得HM的长，故此可得到点M的坐标；当∠ABM=90°时，如图3所示，先求得DG、DB的长，然后证明△BDG∽△MDB，依据相似三角形的性质可求得DM的长，从而可求得点M的坐标．

解答 解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{4a+2b+c=\frac{16}{5}}\\{c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\\{c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{16}{5}$．
（2）如图1所示：过点P作PQ⊥x轴，垂足为E，交直线AB与点Q，作BD⊥x轴，垂足为D．


设直线AB的解析式为y=mx+n，将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{2m+n=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{5}}\\{n=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{8}{5}$．
设点P（x，-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{4}{5}$x+$\frac{16}{5}$），则Q（x，$\frac{4}{5}$x+$\frac{8}{5}$）．
∴S_△ABP=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$PQ×（AE+ED）=$\frac{1}{2}$×4×PQ=2PQ=2（y_P-y_Q）=-$\frac{4}{5}$x²+$\frac{16}{5}$．
∴当x=0时，△ABP的面积有最大值．
∴P（0，$\frac{16}{5}$）．
（3）①当∠BAM=90°时，如图2所示：

∵抛物线的对称轴为x=1．
∴AH=3．
将x=1代入直线AB的解析式得：y=$\frac{12}{5}$，
∴GH=$\frac{12}{5}$．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°-∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴$\frac{GH}{AH}$=$\frac{AH}{HM}$，即AH²=GH•HM．
∴$\frac{12}{5}$HM=9，解得：HM=$\frac{15}{4}$．
∴点M的坐标为（1，-$\frac{15}{4}$）
②当∠ABM=90°时，如图3所示．
∵DG=DH-GH，
∴DG=$\frac{16}{5}$-$\frac{12}{5}$=$\frac{4}{5}$．
由题意可知BD=1．

∵∠MBD+∠DBG=90°，∠MBD+∠BMD=90°，
∴∠DBG=∠BMD．
又∵∠BDM=∠BDG=90°，
∴△BDG∽△MDB，
∴$\frac{DB}{DG}$=$\frac{DM}{BD}$，即$\frac{1}{\frac{4}{5}}$=$\frac{DM}{1}$，解得DM=$\frac{5}{4}$．
∴MH=DH+DM=$\frac{16}{5}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{89}{20}$．
∴点M的坐标为（1，$\frac{89}{20}$）．
综上所述，点M的坐标为（1，-$\frac{15}{4}$）或（1，$\frac{89}{20}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、三角形的面积公式、相似三角形的性质和判定，列出△ABP的面积与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，找出图中相似的三角形是解答问题（3）的关键．