Question

18．如图，直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c经过B、C两点，点E是直线BC上方抛物线上的一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）过点E作y轴的平行线交直线BC于点M、交x轴于点F，当S_△BEC=$\frac{3}{2}$时，请求出点E和点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当E点的横坐标为1时，在EM上是否存在点N，使得△CMN和△CBE相似？如果存在，请直接写出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线y=-x+3求得点B、C坐标，代入抛物线解析式求得b、c即可得；
（2）设E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3），则M（x，-x+3），可知EM=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，根据S_△BEC=S_△BEM+S_△MEC=$\frac{1}{2}$EM•OC=$\frac{3}{2}$列出关于x的方程，解之可得答案；
（3）由题意得出∠BCO=∠CBE=∠CMN=45°、BE=1、CB=3$\sqrt{2}$、CM=2$\sqrt{2}$，根据$\frac{MN}{BE}$=$\frac{CM}{CB}$和$\frac{MN}{CB}$=$\frac{CM}{BE}$分别求出MN即可得．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（3，0），
∵y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c经过B、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+\frac{3}{2}+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．

（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，
∴设点E的坐标是（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3），
则点M的坐标是（x，-x+3），
∴EM=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3-（-x+3）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
∴S_△BEC=S_△BEM+S_△MEC=$\frac{1}{2}$EM•OC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）×3=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x，
∴-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x=$\frac{3}{2}$，
解得，x₁=1，x₂=2，
即点E的坐标是（1，3）或（2，2），
此时对应的M的坐标是（1，2）或（2，1）．

（3）存在．
∵B（0，3）、E（1，3），
∴BE=1，且BE∥OC，
由（1）知OB=OC=3，
∴∠BCO=∠CBE=∠CMN=45°，
∴CB=3$\sqrt{2}$，CM=2$\sqrt{2}$，

①当$\frac{MN}{BE}$=$\frac{CM}{CB}$时，△CMN∽△CBE，
即$\frac{MN}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，得MN=$\frac{2}{3}$，
∴FN=$\frac{4}{3}$，
∴N（1，$\frac{4}{3}$）；
②当$\frac{MN}{CB}$=$\frac{CM}{BE}$时，△CMN∽△EBC，
即$\frac{MN}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1}$，得MN=12，
∴FN=-10，
N′（1，-10），
∴在EM上存在符合条件的点N，其坐标为（1，$\frac{4}{3}$）或（1，-10）．

点评 本题主要考查二次函数的综合问题，掌握待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、解一元二次方程及相似三角形的判定是解题的关键．