Question

如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（1，2）（3）不存在，理由见解析

【解析】解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）

∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组

 

解得：

∴抛物线的解析式为 

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，

若△ABO∽△AP₁D，则

∴DP₁=AD=4  ,

∴P₁

若△ABO∽△ADP₂ ，过点P₂作P₂ M⊥x轴于M，AD=4,

∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP₂是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P₂M，即点M与点C重合∴P₂（1，2）

（3）如图设点E ，则

①当P₁(-1,4)时，

S_{四边形AP1CE}=S_{三角形ACP1}+S_三角形ACE

 =  

             ∴    ∴

∵点E在x轴下方  ∴

代入得： ,即

∵△=(-4)²-4×7=-12<0

∴此方程无解

②当P₂（1，2）时，S_{四边形AP2CE}=S_{三角形ACP2}+S_三角形ACE =    

              ∴    ∴

∵点E在x轴下方  ∴  代入得：

即 ，∵△=(-4)²-4×5=-4<0

∴此方程无解

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E