Question

如图，直线y=2x与双曲线y=

8

x

交于点A、E，直线AB交双曲线于另一点B（2m，m），连接EB并延长交x轴于点F．
（1）m=

 

；
（2）求直线AB的解析式；
（3）求△EOF的面积；
（4）若点P为坐标平面内一点，且以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点B（2m，m）代入双曲线y=

8

x

，即可求出满足条件的m的值；
（2）先解方程组

y=2x y= 8 x

可得到A点坐标为（-2，-4）和E点坐标为（2，4），然后利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（3）先利用待定系数法求出直线EB的解析式，再令y=0，确定F点的坐标，最后根据三角形的面积公式求出△EOF的面积；
（4）分类讨论：分别以AB、BE、AE为对角线求对应的P点坐标．分别求出过A点与BE平行的直线解析式；过B点与AE平行的直线解析式；过E点与AB平行的直线解析式；然后求出这三条直线的交点即可．

解答：解：（1）∵点B（2m，m）在双曲线y=

8

x

上，
∴2m•m=8，解得m=±2，而m＞0，
∴m=2．
故答案为2；

（2）m=2，则B点坐标为（4，2），
解方程组

y=2x y= 8 x

得

x=-2 y=-4

或

x=2 y=4

，
∴A点坐标为（-2，-4），E点坐标为（2，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-2，-4），B（4，2）代入得：-2k+b=-4，4k+b=2，解方程组得k=1，b=-2，
∴直线AB的解析式为y=x-2；

（3）设直线EB的解析式为y=kx+b，
把E（2，4），B（4，2）代入得：2k+b=4，4k+b=2，解方程组得k=-1，b=6，
∴直线EB的解析式为y=-x+6，
令y=0，则-x+6=0，得x=6，即F点的坐标为（6，0），
∴△EOF的面积=

1

2

×6×4=12；

（4）满足条件的点P的坐标为（-4，-2）、（0，-6）、（8，10）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，利用待定系数法求直线的解析式以及两直线平行的解析式的关系．