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    精英家教网将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=
    1
    x
    的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
    1
    3
    ∠AOB．请研究以下问题：
    （1）设P(a，
    1
    a
    )    、R(b，
    1
    b
    )    ，求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）．
    （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=
    1
    3
    ∠AOB．
    （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
    分析：（1）根据题意，得M（b，
    1
    a
    ），再进一步运用待定系数法求解；
    （2）根据题意，得Q（a，
    1
    b
    ），再根据（1）中求得的直线解析式求证Q点在直线OM上；结合矩形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可证明；
    （3）可以运用上述方法作钝角的补角的三等分线，再进一步构造60°的角．
    解答：解：（1）设直线OM对应的函数表达式y=kx．
    根据题意，得M（b，
    1
    a
    ），
    则有bk=
    1
    a
    ，即k=
    1
    ab
    ，
    则直线OM对应的函数表达式y=
    1
    ab
    x    ；

    （2）根据题意，得Q（a，
    1
    b
    ）．
    当x=a时，则y=
    1
    b
    ，则Q点在直线OM上；
    根据题意，得四边形PQRM是矩形，则QS=SR，
    ∴∠SQR=∠SRQ．
    ∵OP=PS，
    ∴∠POS=∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠MOB，
    ∴∠MOB=
    1
    3
    ∠AOB；

    （3）可以运用上述方法作钝角的补角（锐角）的三等分线，再进一步构造60°的角．
    利用60°减去所求的角即是我们要的角度．
    点评：此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强．
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    x
    的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
    1
    3
    ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    （1）设P（a，
    1
    a
    ）、R（b，
    1
    b
    ），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
    （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明精英家教网∠MOB=
    1
    3
    ∠AOB；
    （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

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    （2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=
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    x
    的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
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    ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    ①设P（a，
    1
    a
    ）、R（b，
    1
    b
    ），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=
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    ∠AOB．
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    科目：初中数学 来源：2006-2007学年湖北省仙桃市九年级（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

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    科目：初中数学 来源：2011年江苏省无锡市育才中学中考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

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    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．

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