Question

本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．
甲：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O的切线．

乙：已知关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0（m＞0）．
（1）证明：这个方程有两个不相等的实根
（2）如果这个方程的两根分别为x₁，x₂，且（x₁-5）（x₂-5）=5m，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据等腰三角形性质推出BD=DC即可；
（2）连接OD，推出∠BAC=2∠OAD；根据OA=OD，推出∠OAD=∠ODA，根据三角形外角性质推出∠BOD=2∠BAD，得出∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，求出OD⊥DE即可．
解答：解：选甲，
证明：（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD．

（2）证明：连接OD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BOD=∠OAD+∠ODA，
∴∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
点评：本题考查了等腰三角形性质，切线的判定，平行线的性质和判定，圆周角定理等知识点的运用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题型比较好，具有一定的代表性．