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5.如图,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,3),以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$(k≠0)上,将正方形沿x轴负方向平移m个单位长度后,点C恰好落在双曲线上,则m的值是2.

分析 作CE⊥y轴于点E,交双曲线于点G.作DF⊥x轴于点F,易证△OAB≌△FDA≌△BEC,求得A、B的坐标,根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标,从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式,进而求得G的坐标,则m的值即可求解.

解答 解:作CE⊥y轴于点E,交双曲线于点G.作DF⊥x轴于点F.
∵A(1,0),B(0,3),
∴OB=3,OA=1.
∵∠BAD=90°,
∴∠BAO+∠DAF=90°,
又∵直角△ABO中,∠BAO+∠OBA=90°,
∴∠DAF=∠OBA,
在△OAB和△FDA中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠OBA}\\{∠BOA=∠AFD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△OAB≌△FDA(AAS),
同理,△OAB≌△FDA≌△BEC,
∴AF=OB=EC=3,DF=OA=BE=1,
故D的坐标是(4,1),C的坐标是(3,4).代入y=$\frac{k}{4}$,
得:k=4,则函数的解析式是:y=$\frac{4}{x}$.
OE=4,
则C的纵坐标是4,把y=4代入y=得:x=1.即G的坐标是(1,4),
∴CG=2.
故答案为:2

点评 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,待定系数法求函数的解析式,正确求得C、D的坐标是关键,题目的综合性较强,难度不小,对学生的解题能力要求很高.

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∵a∥c  (已知)
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等)
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∴c∥b (平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等)
∴∠1+∠2=∠3+∠4(等式性质)
而∠3+∠4=90°°(已知)
∴∠1+∠2=90°  (等量代换)

方法(二)解:如图3,延长AP交直线 b于点C,
∵a∥b  (已知)
∴∠1=∠5(两直线平行,内错角相等)
又∵三角形内角和是180°,
∴∠BPC+∠2+∠5=180°,
而∠BPC=90°(已知)
∴∠2+∠5=180°-90°=90°(等式性质)
∴∠1+∠2=90°(等量代换)
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