Question

如图所示，在△ABC中，AB=4

3

，AC=6，BC=2

3

，P是AC上与A、C不重合的一个动点，过P、B、C的⊙O交AB于D．设PA=x，PC²+PD²=y，求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围．

Answer 1

分析：先根据已知△ABC的三边关系求出∠A的度数，再连接PB，由圆周角定理可知△APD是直角三角形，由直角三角形的性质即可求出y与x之间的函数关系式．

解答：解：∵AB=4

3

，AC=6，BC=2

3

，
∴AB²=（4

3

）²=48，AC²=6²=36，BC²=（2

3

）²=12，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为直角三角形，且∠A=30°，
连接PB，则PB为⊙O的直径，
∴PD⊥AB，
∵在Rt△APD中，∠A=30°，PA=x，
∴PD=

1

2

x，
∴y=PC²+PD²=（6-x）²+(

x

2

)2=

5

4

x2-12x+36（0＜x＜6）．

点评：本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，解答此题的关键是连接BP，构造出直角三角形，再利用直角三角形的三边关系求解．