Question

如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为A（4，0），C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标；
（3）已知E（1，-1），当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．

Answer 1

分析：（1）由A（4，0），C（0，2），D为OA的中点，得到D点坐标为（2，0），则OC=OD，而点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合），根据角平分线的性质有
∠COP=∠DOP=45°，再根据三角形全等的判定方法易得△POC≌△POD，则PC=PD；
（2）过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于N，交BC于M点，OP交BC于H点，易得△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，△PHB是也等腰直角三角形，得到PM垂直平分BH，而CH=CO=2，则BH=2，得到PM=

1

2

BH=1，于是有ON=PN=1+2=3，根据坐标的表示方法即可得到P点坐标；
（3）连CE交∠AOC的平分线于P点，连PD、CD，ED，由OC=OD，OP平分直角AOC得到OP垂直平分CD，则PC=PD，得到PD+PE=PC+PE=CE，根据两点之间线段确定此时△PDE的周长最小，然后利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=-3x+2，根据P点的横纵坐标相等即可得到P点坐标为（

1

2

，

1

2

），再利用勾股定理分别计算出CE=

32+12

=

10

，DE=

12+12

=

2

，即可得到此时△PDE的周长．

解答：（1）证明：∵A（4，0），C（0，2），D为OA的中点，
∴D点坐标为（2，0），
∴OC=OD，
又∵点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合），
∴∠COP=∠DOP=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD，
即无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）解：过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于N，交BC于M点，OP交BC于H点，如图，
∵OP平分∠AOC，
∴∠COP=∠NOP=45°，
∴△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，
∴△PHB是等腰直角三角形，
∴PM垂直平分BH，
∴CH=CO=2，
∴BH=4-2=2，
∴PM=

1

2

BH=1，
∴ON=PN=1+2=3，
∴P点坐标为（3，3）；

（3）解：连CE交∠AOC的平分线于P点，连PD、CD，ED，如图，
∵OC=OD，OP平分直角AOC，
∴OP垂直平分CD，
∴PC=PD，
∴PD+PE=PC+PE=CE，
此时△PDE的周长最小，
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
把C（0，2）、E（1，-1）分别代入得，b=2，k+b=-1，解得k=-3，b=2，
∴直线CE的解析式为y=-3x+2，
而P点的横纵坐标相等，设P（a，a），把P点坐标代入y=-3x+2得，a=-3a+2，解得a=

1

2

，
∴P点坐标为（

1

2

，

1

2

），
∵CE=

32+12

=

10

，DE=

12+12

=

2

，
∴此时△PDE的周长=

2

+

10

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了垂线段最短、勾股定理、矩形的性质和坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．