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如图,海中有一小岛P,在距小岛P的16
2
海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域?
分析:过P作PB⊥AM于B,则PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离,求出PC长和16
2
比较即可,第二问设出航行方向,利用特殊角的三角函数值确定答案.
解答:解:过P作PB⊥AM于B,

在Rt△APB中,∵∠PAB=30°,
∴PB=
1
2
AP=
1
2
×32=16海里,
∵16<16
2

故轮船有触礁危险.
为了安全,应该变航行方向,并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16
2
海里,即这个距离至少为16
2
海里,
设安全航向为AC,作PD⊥AC于点D,

由题意得,AP=32海里,PD=16
2
海里,
∵sin∠PAC=
PD
AP
=
16
2
32
=
2
2

∴在Rt△PAC中,∠PAC=45°,
∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°.
答:轮船自A处开始至少沿东偏南15°度方向航行,才能安全通过这一海域.
点评:本题考查了解直角三角形的应用,关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长,题目比较典型,是一道比较好的题目.
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3
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3
≈1.7,
2
≈1.4)

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