Question

如图，二次函数的图象与一次函数y₂=x+b的图象交于A（0，1），B两点．C（1，0）为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）定义函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁或y₂，若y₁≠y₂，函数f的函数值等于y₁、y₂中的较小值；若y₁=y₂，函数f的函数值等于y₁（或y₂）．”当直线（k＞0）与函数f的图象只有两个交点时，求k的值．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
由抛物线过点A（0，1），可得y=x²-2x+1；
（2）将y=x²-2x+1与y=x+1联立解得：x=0，y=1或x=3，y=4，即B（3，4），
直线y=kx-（k＞0）与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：
①直线y=kx-与直线AB：y=x+1平行，此时k=1；
②直线y=kx-过点B（3，4），此时k=；
③直线y=kx-与二次函数y=x²-2x+1的图象只有一个交点，
此时有，
消元y得：x²-2x+1=kx-，
由△=0，可得k₁=-2，k₂=--2（舍去），
综上：k=1，k=，k=-2．
分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²，将A坐标代入求出a的值，即可确定出解析式；
（2）联立抛物线与一次函数解析式求出B坐标，分①直线y=kx-与直线AB：y=x+1平行；②直线y=kx-过点B（3，4）；③直线y=kx-与二次函数y=x²-2x+1的图象只有一个交点，三种情况求出k的值即可．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．