Question

(本题10分)

如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．

（1）求证：MN是半圆的切线；

（2）求证：FD=FG；

（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

 

Answer 1

（1）证明：是直径，°即

∠MAC=∠ABC，°，即

所以MN是半圆的切线；

(2) ∵D是弧AC的中点， ∴∠DBC=∠2

∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB=90º

∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠2=90º

∵∠DBC=∠2，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD

∴FD=F∵∠ADB=90º，DE⊥AB，∴∠3=∠2

∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3

∴AF=DF=FG

（3）∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB

∴△ADG∽△BCG

∴

 

∴S△BCG=

解析:此题考查切线的判定、圆的有关知识、三角形的面积。