Question

如图，在平面直角系中，直线AB：分别交x轴、y轴于B、A两点．直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA=OD．过D作CD⊥x轴交AE于C．连接BC，当动点B在线段OD上运动（不与点O点D重合）且AB⊥BC时．
（1）求证：△ABO∽△BCD；
（2）求线段CD的长（用a的代数式表示）；
（3）若直线AE的方程是，求tan∠BAC的值．

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥BE，
∴∠CDO=∠AOD=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∵CB⊥AB，∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∴△ABO∽△BCD；

（2）解：∵A（0，4），B（-a，0）（a＜0），
∴AO=4，BO=-a，
∵△ABO∽△BCD，
∴=，
∵OD=AO=4a，
∴CD=（-4＜a＜0），

（3）解：∵C（4，），
b=4，
∴=-×4+4，
即：a²+4a+3=0，
解得：a₁=-1，a₂=-3，
∵△ABO∽△BCD，
∴=，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
tan∠BAC===，
当a₁=-1时，tan∠BAC=，
当a₂=-3时，tan∠BAC=．
综上所述：tan∠BAC=或tan∠BAC=．
分析：（1）根据已知得出∠BAO=∠CBD，以及再利用∠CDO=∠AOD=90°，即可得出三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质得出=，进而表示出CD的长；
（3）根据C点坐标求出a的值，进而求出tan∠BAC===的值即可．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，灵活利用相似三角形的性质是解题关键．