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    已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长，交BC的延长线于点P．
    （1）如图①，当∠B=∠DPB=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，AE=1，求CE的长．
    （2）如图②，若AD=AE=1，CE=2，BD=BC，求CP的长．
    （3）如图③，若AD=AE=1，tan，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数解析式．

    【答案】分析：（1）由∠B=∠DPB=30°可知∠BDP=120°，再根据∠ACB=90°可知∠ACP=90°，根据三角形外角的性质可知∠AEP=∠ACP+∠DPB=120°，故可得出∠AEP=∠BDP=120°，再由△AEP∽△BDP，可知∠EAP=∠EPA=∠B=∠DPB=30°，故可得出∠EP=AE=1，在Rt△ECP中根据直角三角形的性质即可得出结论；
    （2）设BD=BC=m，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即32+m2=（m+1）2，解得m=4，过点D作DQ⊥AC于点Q，根据相似三角形的判定定理得出△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出AQ，DQ，QE的长，再判断出△DQE∽△PCE，故可得出CP的长；
    （3））由∠ACP=90°可知DQ∥BP，故可得出tan∠QDE=tan∠BPD=，设QE=a，则DQ=3a，AQ=1-a，在Rt△ADQ中由AQ2+DQ2=AD2，可知（1-a）2+（3a）2=12，故可得出a的值，再由△ADQ∽△ABC，可知==，故可得出AB=（1+x），BC=（1+x），由此即可得出结论．
    解答：解：（1）∵∠B=∠DPB=30°，
    ∴∠BDP=120°，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠ACP=90°，∠AEP=∠ACP+∠DPB=120°，
    ∴∠AEP=∠BDP=120°，
    ∵△AEP∽△BDP，
    ∴∠EAP=∠EPA=∠B=∠DPB=30°，
    ∴∠EP=AE=1，
    在Rt△ECP中，CE=EP=；

    （2）∵BD=BC，
    ∴设BD=BC=m，
    在Rt△ABC中，
    ∵AC2+BC2=AB2，即32+m2=（m+1）2，解得m=4，
    ∴BD=BC=4，AB=5，
    过点D作DQ⊥AC于点Q，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴DQ∥BC，
    ∴△ADQ∽△ABC，
    ∴==，即==，
    ∴AQ=，DQ=，QE=AE-AQ=，
    ∵DQ∥BP，
    ∴△DQE∽△PCE，
    ∴=，=，
    ∴CP=4；

    （3）∵∠ACP=90°，
    ∴DQ∥BP，
    ∴∠QDE=∠BPD，
    ∴tan∠QDE=tan∠BPD=，
    ∴=，
    设QE=，a，则DQ=3a，AQ=1-a，
    在Rt△ADQ中，
    ∵AQ2+DQ2=AD2，即（1-a）2+（3a）2=12，解得a1=0（不合题意，舍去），a2=，
    ∵由（2）知，△ADQ∽△ABC，
    ∴==，
    ∴==，
    ∴AB=（1+x），BC=（1+x）．
    ∴△ABC的周长y=AB+BC+AC=（1+x）+（1+x）+1+x=3x+3，即y=3x+3（x＞0）．
    点评：本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数的定义等知识，难度较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点，∠EMG=45°，AC与MG的延长线相交于点F．
    （1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
    （2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长．

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    精英家教网已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，b=2
    		3
    ，解这个直角三角形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6cm；D为AC上一点（不与A、C不精英家教网重合），过D作DQ⊥AC（DQ与AB在AC的同侧）；点P从D点出发，在射线DQ上运动，连接PA、PC．
    （1）当PA=PC时，求出AD的长；
    （2）当△PAC构成等腰直角三角形时，求出AD、DP的长；
    （3）当△PAC构成等边三角形时，求出AD、DP的长；
    （4）在运动变化过程中，△CAP与△ABC能否相似？若△CAP与△ABC相似，求出此时AD与DP的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M是AC的中点，连接BM，CF⊥MB，F是垂足，延长CF交AB于点E．求证：∠AME=∠CMB．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．
    （1）观察图形，猜想BD与⊙O的位置关系：
    相切
    相切
    ；
    （2）证明第（1）题的猜想．

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