Question

如图，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF，CE在两直角边上．设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积S最大？最大是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：首先由矩形的性质可证明△AED∽△ACB，△DBF∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可得到关于CF和DF的数量关系，利用矩形的面积公式即可得到s和x的函数关系，利用函数的性质进而可求出矩形ECFD的面积S最大值．

解答：解：∵四边形CFDE为矩形，
∴DE∥BC，D∥AC，
∴△AED∽△ACB，△DBF∽△ABC，
∵CF=xcm．
∴BF=BC-CF=4-x，
∴

DF

AC

=

BF

BC

，
∴

DF

3

=

4-x

4

，
∴DF=

3(4-x)

4

，
∴矩形ECFD的面积S=CF•DE=x•

3(4-x)

4

=-

3

4

（x-

5

2

）²+

25

4

，
∴当x=2.5时，有最大值

25

4

．

点评：本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，矩形的面积公式的运用，解答时由相似三角形的性质求出x的值是关键．