Question

在△ABC中，以△ABC两侧作等边△ABD和等边△ACF，取AD和AF的中点M，N，再取BC的中点H，连接MN，MH，NH．推断并证明△MNH是什么三角形？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,三角形中位线定理

专题：计算题

分析：△MNH是等边三角形，理由为：取AC的中点G，连接NG，HG，由三角形ABD与三角形ACF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AD=AB，AF=CF，且内角为60°，根据G、H分别为AC、BC的中点，即GH为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到GH平行于AB，且HG等于AB的一半，即等于AD的一半，而AM等于AD的一半，等量代换得到AM=HG，同理得到AN=HG，利用平行线的性质及周角定义得到夹角相等，利用SAS得到三角形AMN与三角形GHN全等，利用全等三角形的对应边相等得到NM=HN，再利用等式的性质得到∠MNH为60°，即可得证．

解答：解：△MNH是等边三角形，理由为：
证明：取AC的中点G，连接NG，HG，
∵△ABD和△ACF都为等边三角形，
∴AD=AB，AF=CF，∠BAD=∠CAF=∠ACF=∠F=60°，
∵H为BC的中点，G为AC中点，
∴GH∥AB，GH=

1

2

AB=

1

2

AD=AM，
∴∠BAC=180°-∠HGA，
∴∠DAF=360°-∠BAD-∠CAF-∠BAC=360°-60°-60°-（180°-∠HGA）=60°+∠HGA，
∵N为AF的中点，G为AC的中点，
∴GN∥CF，GN=

1

2

CF=

1

2

AF=AN，
∴∠AGN=∠ACF=60°，∠ANG=∠F=60°，
∴∠HGN=∠HGA+∠AGN=∠HGA+60°，
∴∠DAF=∠HGN，
在△MAN和△HGN中，

AM=GH ∠MAN=HGN AN=GN

，
∴△MAN≌△HGN（SAS），
∴MN=HN，∠ANM=∠GNH，
∴∠MNH=∠ANM+∠ANH=∠GNH+∠ANH=∠ANG=60°，
∴△MNH为等边三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．