Question

在△ABC中，AB=AC．
（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB²-AP²；

（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，P是BC的中点，∴AP⊥BC
∴AB²-AP²=BP²=BP•CP；

（2）如图所示：
成立，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①
在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²②
①-②得：AB²-AP²=BD²-PD²=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；

（3）如图所示：
如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²，
∴AP²-AB²=（AD²+BD²）-（AD²+DP²）=PD²-BD²，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP²-BD²，
∴AP²-AB²=BP•CP．
结论：AP²-AB²=BP•CP．
分析：（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，可知BP=CP，AB²-AP²=BP×BP；
（2）成立，过点A作AD⊥BC于D，依然利用勾股定理，借助于平方差公式即可证明；
（3）画出图形，利用勾股定理，AP²-AB²=DP²-BD²=2DC•CP+CP²=BC•CP+CP²=BP•CP．
点评：本题主要考查勾股定理的应用，以及等腰三角形性质的掌握．