Question

2．如图1，在一张矩形纸片ABCD上任意画一条线段GF，将纸片沿线段GF折叠，
（1）重叠部分的△EFG是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若使点C与点A重合，折叠为GF，如图2，△AFG的面积记为S₁，图3中沿BD折叠，△EBD的面积记为S₂，试问S₁和S₂相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，证明∠EFG=∠AGF，则△EFG是等腰三角形；
（2）如图2，设AG=a，利用勾股定理表示出a，如图3，设ED=x，利用勾股定理表示出x，由a=x，所以AG=ED，所以S₁和S₂相等．

解答 解：（1）如图1，△EFG是等腰三角形，理由是：
由折叠得：∠EFG=∠GFC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AGF=∠GFC，
∴∠EFG=∠AGF，
∴△EFG是等腰三角形，
（2）S₁和S₂相等，理由是：
如图2，∵△AFG是等腰三角形，
∴AF=AG，
设AG=a，则AF=FC=a，BF=BC-a，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF²=AB²+BF²，
∴a²=（BC-a）²+AB²，
∴a=$\frac{B{C}^{2}+A{B}^{2}}{2}$，
如图3，∵△BED是等腰三角形，
∴BE=ED，
设ED=x，则BE=x，AE=AD-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE²=AB²+AE²，
x²=AB²+（AD-x）²，
x=$\frac{A{B}^{2}+A{D}^{2}}{2}$，
∵AD=BC，
∴a=x，
即AG=ED，
∵S₁=$\frac{1}{2}$AG•AB，S₂=$\frac{1}{2}$ED•AB，
∴S₁=S₂．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和翻折的性质，翻叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；还要熟知等角对等边，对于两个三角形面积的判定，可以计算得出，也可以利用等底等高、等底同高、同底等高的两个三角形面积相等．