Question

如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作图，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．
（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；
（3）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．

Answer 1

考点：切线的判定,菱形的判定,圆锥的计算

专题：计算题

分析：（1）根据等腰三角形的性质得∠A=∠ABC=30°，再由OB=OC得∠OCB=∠OBC=30°，所以∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到
AC是⊙O的切线；
（2）连结OD，由CD∥AB得到∠AOC=∠OCD，根据三角形外角性质得∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，所以∠OCD=60°，于是可判断△OCD为等边三角形，则CD=OB=OC，先可判断四边形OBDC为平行四边形，加上OB=OC，于是可判断四边形BOCD为菱形；
（3）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OC=

3

3

AC=2

3

，再根据弧长公式计算出弧BC的长=

4 3

3

π，然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径．

解答：解：（1）AC与⊙O相切．理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠ABC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）四边形BOCD为菱形．理由如下：
连结OD，
∵CD∥AB，
∴∠AOC=∠OCD，
∵∠AOC=∠OBC+∠OCB=60°，
∴∠OCD=60°，
而OC=OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD=OB=OC，
∴四边形OBDC为平行四边形，
而OB=OC，
∴四边形BOCD为菱形；

（3）在Rt△AOC中，AC=6，∠A=30°，
∴OC=

3

3

AC=2

3

，
∴弧BC的长=

120•π•2 3

180

=

4 3

3

π，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴2πr=

4 3

3

π，
∴r=

2 3

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的判定方法和圆锥的计算．