Question

1．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点为D，对称轴与抛物线交于点C，与x轴负半轴交于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E，F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点（点E在点F上方），且EF=1，求使四边形BDEF的周长最小时的点E，F坐标及最小值；
（3）如图2，点P为对称轴左侧，x轴上方的抛物线上的点，PQ⊥AC于点Q，是否存在这样的点P使△PCQ与△ACH相似？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A（-3，0）、B（1，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组即可；
（2）先求得C（-1，4）．将D点向下平移1个单位，得到点M，连结AM交对称轴于F，作DE∥FM交对称轴于E点，则四边形BDEF周长的最小值=BD+EF+AM，然后求得直线AM的解析式，从而可求得点F的坐标，最后依据EF=1可得到点E的坐标；
（3）当△PCQ∽△ACH时，∠PCQ=∠ACH．过点A作CA的垂线交PC与点F，作FN⊥x轴与点N．则AF∥PQ，先证明△CPQ∽△CFA、△FNA∽△AHC，依据相似三角形的性质可求得AN=2，FN=1，则F（-5，1），然后再求得直线CF的解析式，将CF的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3过点A（-3，0），B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点C（-1，4）．
将D点向下平移1个单位，得到点M，连结AM交对称轴于F，作DE∥FM交对称轴于E点，如图1所示．

∵EF∥DM，DE∥FM，
∴四边形EFMD是平行四边形，
∴DE=FM，EF=DM=1，
DE+FB=FM+FA=AM．
由勾股定理，得AM=$\sqrt{O{A}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
四边形BDEF周长的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+（DE+FB）=BD+EF+AM=$\sqrt{10}$+1+$\sqrt{13}$；
设AM的解析式为y=mx+n，将A（-3，0），M（0，2）代入，解得m=$\frac{2}{3}$，n=2，则AM的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2，
当x=-1时，y=$\frac{4}{3}$，即F（-1，$\frac{4}{3}$），
由EF=1，得E（-1，$\frac{7}{3}$）．
故四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（-1，$\frac{7}{3}$），点F坐标为（-1，$\frac{4}{3}$），四边形BDEF周长的最小值是$\sqrt{10}$+1+$\sqrt{13}$；
（3）点P在对称轴左侧，当△PCQ∽△ACH时，∠PCQ=∠ACH．

过点A作CA的垂线交PC与点F，作FN⊥x轴与点N．则AF∥PQ，
∴△CPQ∽△CFA，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{CH}{AH}$=2．
∵∠CAF=90°，
∴∠NAF+∠CAH=90°，∠NFA+∠NAF=90°，
∴∠BFA=∠CAH．
又∵∠FNA=∠AHC=90°，
∴△FNA∽△AHC，
∴$\frac{FN}{AH}$=$\frac{AN}{HC}$=$\frac{AF}{CA}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{AN}{4}$=$\frac{FN}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴AN=2，FN=1．
∴F（-5，1）．
设直线CF的解析式为y=kx+b，将点C和点F的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{-5k+b=1}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{19}{4}$．
∴直线CF的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{19}{4}$．
将y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{19}{4}$与y=-x²-2x+3联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{19}{4}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{4}}\\{y=\frac{55}{16}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴P（-$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{16}$）．
∴满足条件的点P的坐标为（-$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{16}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、轴对称的性质，找出四边形BDEF周长取得最小值的条件是解题的关键．