Question

17．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．
（1）求证：△BOQ≌△POQ；
（2）若直径AB的长为12．
①当PE=6时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE=6$\sqrt{3}$时，四边形AEOP为菱形．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得∠OBQ=90°，再根据平行线的性质得∠APO=∠POQ，∠OAP=∠BOQ，加上∠OPA=∠OAP，则∠POQ=∠BOQ，于是根据“SAS”可判断△BOQ≌△POQ；
（2）①利用△BOQ≌△POQ得到∠OPQ=∠OBQ=90°，由于OB=OP，所以当∠BOP=90°，四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，于是PE=PO=6；②根据菱形的判定，当OC=AC，PC=EC，四边形AEOP为菱形，则OC=$\frac{1}{2}$OA=3，然后利用勾股定理计算出PC，从而得到PE的长．

解答 （1）证明：∵BM切⊙O于点B，
∴OB⊥BQ，
∴∠OBQ=90°，
∵PA∥OQ，
∴∠APO=∠POQ，∠OAP=∠BOQ，
而OA=OP，
∴∠OPA=∠OAP，
∴∠POQ=∠BOQ，
在△BOQ和△POQ中
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OP}\\{∠BOQ=∠POQ}\\{OQ=OQ}\end{array}\right.$，
∴△BOQ≌△POQ；
（2）解：①∵△BOQ≌△POQ，
∴∠OPQ=∠OBQ=90°，
当∠BOP=90°，四边形OPQB为矩形，
而OB=OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE=PO=$\frac{1}{2}$AB=6；
②∵PE⊥AB，
∴当OC=AC，PC=EC，四边形AEOP为菱形，
∵OC=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴PC=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴PE=2PC=6$\sqrt{3}$．
故答案为6，6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；会利用勾股定理计算线段的长．