Question

如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．
（1）求证：CD∥AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲证CD∥AO，根据平行线的判断，证明∠DCB=∠OEB即可；
（2）由题可知求y与x之间的函数关系式，可以通过△BDC∽△AOB的比例关系式得出．

解答：（1）证明：如图，连接BC，交OA于E点，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴AB=AC，∠1=∠2．
∴AE⊥BC．
∴∠OEB=90°．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCB=∠OEB．
∴CD∥AO．

（2）解：∵CD∥AO，
∴∠3=∠4．
∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，
∴

BD

AO

=

DC

OB

，
∴

6

y

=

x

3

，
∴y=

18

x

．
∴0＜x＜6．

点评：本题综合考查的是平行线的判断，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及圆周角定理．利用圆周角定理解答问题时，经常通过作辅助线构建直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理来解答．