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(11·贵港)(本题满分11分)

如图所示,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径为1,AB与小圆相切于点A,与大圆相交于点B,大圆的弦BC⊥AB于点B,过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D,连接OC交小圆于点E,连接BE、BO.

(1)求证:△AOB∽△BDC;

(2)设大圆的半径为x,CD的长为y:

① 求y与x之间的函数关系式;

② 当BE与小圆相切时,求x的值.

 

(1)证明:如图,∵AB与小圆相切于点A,CD与大圆相交于点C,

∴∠OAB=∠OCD=90°

∵BC⊥AB   ∴∠CBA=∠CBD=90°………………1分

∵∠1+∠OBC=90°   ∠2+∠OCB=90°

又∵OC=OB

∴∠OBC=∠OCB

∴∠1=∠2………………2分

∴△AOB∽△BDC………………3分

(2)解:①过点O作OF⊥BC于点F,则四边形OABF是矩形………………4分

∴BF=OA=1

由垂径定理,得BC=2BF=2………………5分

在Rt△AOB中,OA=1,OB=x

∴AB=………………6分

由(1)得△AOB∽△BDC

   即

∴y=(或y=)………………7分

② 当BE与小圆相切时,OE⊥BE

∵OE=1,OC=x

∴EC=x-1 BE=AB=………………8分

在Rt△BCE中,EC2+BE2=BC2

即(x-1)2+()2=22………………9分

解得:x1=2    x2=-1(舍去)………………10分

∴当BE与小圆相切时,x=2………………11分

解析:略

 

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