Question

8．如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，其顶点为M
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）试判断直线CM与以AB为直径的图的位置关系，并加以证明；
（3）如图2，若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接ED，试求出∠BDA的度数．

Answer 1

分析 （1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；
（2）此题的解法有两种：①过AB的中点作直线CM的垂线，比较该垂线段与AB的一半（半径）的大小关系，若两者相等，则直线CM与AB为直径的圆相切；若该垂线段小于半径长，则两者的位置关系为相交；若该垂线段大于半径长，则两者的位置关系为相离；
②连接AB中点（设为点D）和点C，根据直角三角形的性质知：CD为⊙D的半径长，那么只需判断CD是否与CM垂直即可，若垂直，则直线CM与⊙D相切；若不垂直，则相交；
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出点D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论．

解答 解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2．
将A（-1，0），B（4，0）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）直线CM与以AB为直径的圆相切．理由如下：
如图1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD．

由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=$\frac{1}{2}$AB．
由（1）知：y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
则点M（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），ME=$\frac{25}{8}$-2=$\frac{9}{8}$；
而CE=OD=$\frac{3}{2}$，OC=2；
∴ME：CE=OD：OC，
又∵∠MEC=∠COD=90°，
∴△COD∽△CEM，
∴∠CME=∠CDO，
∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，
而CD等于⊙D的半径长，所以直线CM与以AB为直径的圆相切；

（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
y_BC=-$\frac{1}{2}$x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+n，由图象，得
0=-$\frac{1}{2}$×（-1）+n
∴n=-$\frac{1}{2}$，
y_AD=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
∴-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
解得：x₁=-1，x₂=5
∴D（-1，0）与A重合，舍去；
∴D（5，-3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=$\sqrt{10}$．
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=$\sqrt{5}$，
在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=$\sqrt{5}$，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．

点评 本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式的运用，以及直线与圆的位置关系的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．