Question

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为4．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=a，CD=b．
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求a•b的值；
（3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么a•b的值是否发生了变化？为什么？

Answer 1

分析：（1）△ADE∽△ABE；△ACD∽△ABE．由于∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，那么∠BAE=∠CDA，而∠B=∠C=45°，易证△ABE∽△DCA，由于D在BC上，且D点与B点不重合，那么△ADE不≌△ABE，同理可证△ADE∽△ABE；
（2）由于斜边长是4，根据勾股定理易求直角边等于2

2

，由（1）知△ACD∽△ABE，利用比例线段可求a•b的值；
（3）不变．由于∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，易得∠BEA=∠CAD，而∠ABE=∠DCA=45°，可证△EBA∽△ACD，利用比例线段可求BE•CD=AB•AC，而根据题意知AB=AC=2

2

，从而可求BE•CD的值，可得不变的结论．

解答：解：（1）△ADE∽△ABE；△ACD∽△ABE．
下面进行证明△ACD∽△ABE，
∵∠FAG=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA，
由于D在BC上，且D点与B点不重合，
∴△ADE不≌△ABE；
同理可得△ADE∽△ABE；

（2）∵△ACD∽△ABE，
∴

BE

CA

=

BA

CD

，
由依题意，可知：CA=BA=2

2

，
∴

a

2 2

=

2 2

b

，
∴a•b=8；

（3）不变．
∵∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，
∴∠BEA=∠CAD，
又∵∠ABE=∠DCA=45°，
∴△EBA∽△ACD，
∴

BE

AB

=

AC

DC

，
∴BE•CD=AB•AC=2

2

×2

2

=8．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质．解题的关键是利用三角形外角的性质，证明∠BAE=∠CDA，∠BEA=∠CAD．