Question

5．如图，二次函数y=-x₂+nx+n²-9（n为常数）的图象经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限．
（1）求n的值和点A坐标；
（2）已知一次函数y=-2x+b（b＞0）分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次函数图象的y轴右侧部分上的一个动点，若PN⊥NM于N点，且△PMN与△OMN相似，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=-x²+nx+n²-9（n为常数）的图象经过坐标原点，可以求得n的值，根据抛物线的顶点坐标在第一象限可知，n的符号与-1相反，从而确定n的值，从而可以得到点A的坐标．
（2）根据一次函数y=-2x+b（b＞0）分别交x轴、y轴于M、N两点，可以求得M、N两点的坐标，然后根据题目中的条件，△PMN与△OMN相似可以得到两种情况，然后针对两种情况画出相应的图形，进行灵活变化从可以求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+nx+n²-9（n为常数）的图象经过坐标原点，
∴0=-0²+n×0+n²-9．
即n²-9=0．
解得，n₁=-3，n₂=3．
∵二次函数y=-x²+nx+n²-9的顶点在第一象限，-1＜0，
∴n＞0，
∴n=3．
∴二次函数y=-x²+3x．
令0=-x²+3x，得x₁=0，x₂=3．
∴二次函数y=-x²+3x与x轴的交点为（0，0）或（3，0）．
∵二次函数y=-x₂+nx+n²-9（n为常数）的图象经过坐标原点和x轴上另一点A，
∴点A的坐标为（3，0）．
由上可得，n=3，点A的坐标为（3，0）．
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，设点P的坐标为（x，-x²+3x）．
∵PN⊥NM，∠NOM=90°，
∴要使△PMN与△MNO相似，
则分两种情况：
第一种情况：△PMN∽△MNO，如下图，

∵一次函数y=-2x+b（b＞0）分别交x轴、y轴于M、N两点，
∴OM=$\frac{1}{2}b$，ON=b，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{1}{2}$．
又∵△PMN∽△NMO，
∴$\frac{PN}{MN}=\frac{MO}{NO}=\frac{1}{2}$．
∵PN⊥MN，PB⊥y轴，
∴△PNB∽△MNO．
∴$\frac{x}{b}=\frac{-{x}^{2}+3x-b}{\frac{1}{2}b}=\frac{1}{2}$．
解得，${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=0$（舍去）．
∴点P的坐标为：（$\frac{1}{2}，\frac{5}{4}$）．
第二种情况：△PMN∽△NMO，如下图，

∵一次函数y=-2x+b（b＞0）分别交x轴、y轴于M、N两点，
∴OM=$\frac{1}{2}b$，ON=b，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{1}{2}$．
又∵△PMN∽△NMO，
∴$\frac{PN}{MN}=\frac{NO}{MO}=\frac{2}{1}$．
∵PN⊥MN，PB⊥y轴，
∴△PNB∽△NMO．
∴$\frac{x}{b}=\frac{-{x}^{2}+3x-b}{\frac{1}{2}b}=2$．
解得，x₁=2，x₂=0（舍去）．
∴点P的坐标为（2，2）．
由上可得，点P的坐标为：（$\frac{1}{2}，\frac{5}{4}$）或（2，2）．

点评 本题考查二次函数的相关知识，关键是明确题意，认真分析，考虑问题一定要全面，根据题意画出相应的图形，运用数学中分类讨论的数学思想解答问题．