Question

14．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）经过（2，5），（-2，-3），（1，0）三点；
（2）抛物线的顶点为（-2，1），并且经过点（1，2）；
（3）抛物线的图象过（1，-2），对称铀为直线x=2，且这个函数的最小值为-3；
（4）已知抛物线和y轴的交点是（0，-$\frac{3}{2}$），和x轴的一个交点是（-1，0），对称轴是x=1．

Answer 1

分析 （1）先设出抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，再将点（2，5），（-2，-3），（1，0）代入解析式中，即可求得抛物线的解析式；
（2）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）²+3，然后把（-1，5）代入求出a的值即可．
（3）由于对称铀为直线x=2，且这个函数的最小值为-3，则可设顶点式y=a（x-2）²-3，然后把（1，-2）代入求出a的值即可．
（4）因为对称轴是直线x=1，所以得到点（-1，0）的对称点是（3，0），因此利用交点式y=a（x-x₁）（x-x₂），求出解析式．

解答 解：（1）设出抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将点（2，5），（-2，-3），（1，0）代入解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=5}\\{4a-2b+c=-3}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=x²+2x-3；
（2）设抛物线解析式为y=a（x+2）²+1，
把（1，2）代入得a•（1+2）²+1=2，解得a=$\frac{1}{9}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{9}$（x+2）²+1；
（3）根据题意设抛物线解析式为y=a（x-2）²-3，
把（1，-2）代入得a•（1-2）²-3=-2，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x-2）²-3．
（4）∵抛物线对称轴是直线x=1且经过点A（-1，0），
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0），
即：y=a（x+1）（x-3），
把B（0，-$\frac{3}{2}$）代入得：-$\frac{3}{2}$=-3a，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．本题的关键是利用对称性确定抛物线与x轴的交点坐标．