Question

在如图所示的直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，OA=2，∠AOC=60°，以OA为直径的⊙P经过点C，点D在y轴上，DM为始终与y轴垂直且与AB边相交的动直线，设DM与AB边的交点为M（点M在线段AB上，但与A、B两点不重合），点N是DM与BC的交点，设OD=t；
（1）求点A和B的坐标；
（2）设△BMN的外接圆⊙G的半径为R，请你用t表示R及点G的坐标；
（3）当⊙G与⊙P相外切时，求直角梯形OAMD的面积．

Answer 1

分析：（1）利用直径对的圆周角的直角．连接AC，易知OC=1，又∠AOC=60°，易求A点坐标为（

3

，1），再利用平行四边形的性质知AB=OC=1，即可求解；
（2）因为DM⊥y轴，且ABCD是平行四边形，所以⊙G的圆心G在BN的中点处．
然后作GH⊥x轴于H，交DM于F，GK⊥BM于K，则有FM=

1

2

BM，而BM=2-t，所以MN=

3

（2-t）．
设G的坐标为（x，y），则有x=DM-

1

2

MN，y=OD+

1

2

BM，点G坐标可求．
（3）根据外切的性质，连接PG，则PG=3-t①；
再作PE⊥GH于E，根据勾股定理PG=

PE2+GE2

，结合点的坐标，表示PG=

t2-t+1

②．
解①②组成的方程组，求出t值，再分别求出AM、DM值，即可求解．

解答：解：（1）连接AC．
∵OA为⊙P的直径，
∴∠ACO=90°．
又∵OA=2，∠AOC=60°，
∴OC=1，AC=

3

，
∴点A的坐标为（

3

，1）．
又四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴点B的坐标为（

3

，2）．

（2）∵DM⊥y轴，且AB∥OC，
∴DM⊥AB，
∴∠NMB=90°．
∴G是圆心G为BN的中点．
又∵∠B=∠AOC=60°，
∴BM=

1

2

BN=R．
而点B的纵坐标为2，点M的纵坐标=点D的纵坐标=t，
∴BM=2-t，
∴R=2-t．
过点G作GH∥y轴，交x轴于点H，交DM于点F．
过点G作GK∥x轴，交AB于点K．
根据垂径定理，得到
FM=

1

2

MN，KM=

1

2

BM．
设点G的坐标为（x，y），
∵NM=

3

（2-t），
∴x=DM-

1

2

MN=

3

-

3

2

（2-t）=

3

2

t，
y=OD+

1

2

BM=t+

1

2

（2-t）=1+

1

2

t，
∴点G的坐标为（

3

2

t，1+

1

2

t）．

（3）连接GP．过点P作PE∥x轴，交GH于点E．
由PE⊥GE，根据勾股定理，得
GP=

PE2+GE2

=

( 3 2 t- 3 2 )2+(1+ t 2 - 1 2 )2

=

t2-t+1

．
当⊙G与⊙P外切时，PG=R+1，
∴

t2-t+1

=3-t，
解得t=

8

5

，
经检验t=

8

5

是原方程的根．
此时，OD=t=

8

5

，AM=1-MB=

3

5

，DM=AC=

3

．
∴直角梯形OAMD的面积为：
S=

OD+AM

2

•DM=

( 8 5 + 3 5 )

2

×

3

=

11

10

3

．

点评：本题考查了点的坐标、平行四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理、直角梯形、垂径定理等知识．
本题是代数几何综合型的试题．