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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C（0，），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．
    （1）求实数a，b，c的值；
    （2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
    （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）由题意和图形可求出函数的表达式；
    （2）结合抛物线内部几何关系和性质求出t值及P点坐标；
    （3）假设成立（1）若有△ACB∽△QNB则有∠ABC=∠QBN，寻找相似条件，判断是否满足．
    解答：解：（1）∵C（0，）在抛物线上
    ∴代入得c=，
    ∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，
    ∴顶点横坐标x==-1，
    ∴，
    又∵A（-3，0）在抛物线上，
    ∴=0
    由以上二式得a=，b=，c=；

    （2）由（1）y==
    ∴B（1，0），
    连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：01也为PB中点．
    设t秒后有M（1-t，0），N（1-，），O1）
    设P（x，y），B（1，0）
    ∵O1为P、B的中点可得，，即P（）
    ∵A，C点坐标知lAC：y=，P点也在直线AC上代入得t=，
    即P（）；

    （3）假设成立；
    ①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，
    ∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：
    则△ACB不与△QNB相似．
    ②若有△ACB∽△QBN，则有…（1）
    设Q（-1，y），C（0，），A（-3，0），B（1，0），N（）
    则CB=2，AB=4，AC=2
    代入（1）得
    y=2或．
    当y=2时有Q（-1，2）则QB=4?不满足相似舍去；
    当y=时有Q（-1，）则QB=?．
    ∴存在点Q（-1，）使△ACB∽△QBN．
    综上可得：（-1，）．
    点评：此题是二次函数综合题，主要考函数的性质和坐标，几何变换与三角形相似的性质，探究一些存在性问题，难度较大，灵活运用函数性质来解题，考查知识点全面．
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    精英家教网如图，二次函数的图象经过点D（0，
    7
    9
    		3
    ），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
    （1）求二次函数的解析式；
    （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
    （3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
    （1）求二次函数与一次函数的解析式；
    （2）如果一次函数图象与y相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标．
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    精英家教网如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A（0，-3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数解析式．

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    某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
    （1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
    （2）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；
    （3）从第几个月起公司开始盈利？该月公司所获利润是多少万元？

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    如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于两个点，根据图象回答：（1）b
    ＞
    ＞
    0（填“＞”、“＜”、“=”）；
    （2）当x满足
    x＜-4或x＞2
    x＜-4或x＞2
    时，ax2+bx+c＞0；
    （3）当x满足
    x＜-1
    x＜-1
    时，ax2+bx+c的值随x增大而减小．

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