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如图,AC是⊙O的直径,P是⊙O外一点,连结PC交⊙O于B,连结PA、AB,且满足PC=50,PA=30,PB=18.
(1)求证:△PAB∽△PCA;
(2)求证:AP是⊙O的切线.

【答案】分析:(1)根据△PAB与△PCA的对应边成比例,夹角相等证得结论;
(2)欲证明AP是⊙O的切线,只需证得∠PAC=90°.
解答:证明:(1)∵PC=50,PA=30,PB=18,
==
=
又∵∠APC=∠BPA,
∴△PAB∽△PCA;

(2)∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABP=90°,
又∵△PAB∽△PCA,
∴∠PAC=∠ABP,
∴∠PAC=90°,
∴PA是⊙O的切线.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定.解题时,利用了圆周角定理:直径所对的圆周角是直角.
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(1)设BD=x,CE=y,求y与x直间的函数关系式;
(2)在上题中一共有几对相似三角形,分别指出来(不必证明)
(3)改变原题的条件为AB=AC=2,∠BAC=β,∠DAE=α,α、β之间要满足什么样的关系,能使(1)中y与x的关系式仍然成立?说明理由.

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(3)若要使网球能落入桶内,求竖直摆放的圆柱形桶的个数.

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