Question

19、已知关于x的一元二次方程x²+kx-3=0．
（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要说明△＞0即可．
（2）当k=2时，原方程即x²+2x-3=0，首先移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的两边同时加上一次项系数的一半，则方程左边就是完全平方式，右边是0，即可利用开平方法求解．

解答：（1）证明：∵a=1，b=k，c=-3，
∴△=k²-4×1×（-3）=k²+12，
∵不论k为何实数，k²≥0，
∴k²+12＞0，即△＞0，
因此，不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当k=2时，原一元二次方程即x²+2x-3=0，
∴x²+2x+1=4，
∴（x+1）²=4，
∴x+1=2或x+1=-2，
∴此时方程的根为x₁=1，x₂=-3．

点评：本题是对根的判别式和配方法的综合试题，考查了对根的判别式与配方法的应用，同时也考查了非负数的性质．