【题目】如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.
(1)请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”;
(2)如图在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA= ,求证:△ABC是“好玩三角形”;
(3)如图2,已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=2β,点P,Q从点A同时出发,以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动,记点P经过的路程为s.
①当β=45°时,若△APQ是“好玩三角形”,试求 的值;
②当tanβ的取值在什么范围内,点P,Q在运动过程中,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”.请直接写出tanβ的取值范围.
(4)(本小题为选做题)
依据(3)的条件,提出一个关于“在点P,Q的运动过程中,tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)
【答案】
(1)
解:如图1,①作一条线段AB,
②作线段AB的中点O,
③以点O为圆心,AB为半径画圆,
④在圆O上取一点C,连接AC、BC,
∴△ABC是所求作的三角形(点E、F除外)
(2)
解:如图2,取AC的中点D,连接BD
∵∠C=90°,tanA= ,
∴
∴设BC= x,则AC=2x,
∵D是AC的中点,
∴CD= AC=x
∴BD= = =2x,
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”
(3)
解:①如图3,当β=45°,点P在AB上时,
∴∠ABC=2β=90°,
∴△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,
当P在BC上时,连接AC交PQ于点E,延长AB交QP的延长线于点F,
∵PC=CQ,
∴∠CAB=∠ACP,∠AEF=∠CEP,
∴△AEF∽△CEP,
∴ .
∵PE=CE,
∴ .
(i)当底边PQ与它的中线AE相等时,即AE=PQ时,
=2,
∴ ,
(ii)当腰AP与它的中线QM相等,即AP=QM时,
作QN⊥AP于N,如图4
∴MN=AN= MP.
∴QN= MN,
∴tan∠APQ= ,
∴tan∠APE= = ,
∴ =
②由①可知,当AE=PQ和AP=QM时,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”,
∴ <tanβ<2时,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”
(4)
解:由(3)可以知道0<tanβ< ,
则在P、Q的运动过程中,使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2
【解析】(1)先画一条线段AB,再确定AB的中点O,以点O为圆心,AB为半径画圆,在圆O上取一点C,连接AC、BC,则△ABC是所求作的三角形;
(2)取AC的中点D,连接BD,设BC= x,根据条件可以求出AC=2x,由三角函数可以求出BD=2x,从而得出AC=BD,从而得出结论;
(3)①当β=45°时,分情况讨论,P点在AB上时,△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,当P在BC上时,延长AB交QP的延长线于点F,可以求出分情况讨论,就可以求出 ,再分情况讨论就可以求出当AE=PQ时, 的值,当AP=QM时,可以求出 的值;②根据①求出的两个 的值就可以求出tanβ的取值范围;
(4)由(3)可以得出0<tanβ< ,△APQ为“好玩三角形”的个数为2就是真命题.
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【题目】已知抛物线y1=ax2﹣4ax+3(a≠0)与y轴交于点A,A、B两点关于对称轴对称,直线OB分别与抛物线的对称轴相交于点C.
(1)直接写出对称轴及B点的坐标;
(2)已知直线y2=bx﹣4b+3(b≠0)与抛物线的对称轴相交于点D. ①判断直线y2=bx﹣4b+3(b≠0)是否经过点B,并说明理由;
②若△BDC的面积为1,求b的值.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,EF∥AB,对角线AC交EF于点G,那么与∠BAC相等的角的个数有(∠BAC除外)( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
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【题目】如图,点A在反比例函数y=﹣ (x<0)的图象上移动,连接OA,作OB⊥OA,并满足∠OAB=30°.在点A的移动过程中,追踪点B形成的图象所对应的函数表达式为( )
A.y= (x>0)
B.y= (x>0)
C.y= (x>0)
D.y= (x>0)
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【题目】教师运动会中,甲,乙两组教师参加“两人背夹球”往返跑比赛,即:每组两名教师用背部夹着球跑完规定的路程,若途中球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑,用时少者胜.若距起点的距离用y(米)表示,时间用x(秒)表示.下图表示两组教师比赛过程中y与x的函数关系的图象.根据图象,有以下四个推断:
①乙组教师获胜
②乙组教师往返用时相差2秒
③甲组教师去时速度为0.5米/秒
④返回时甲组教师与乙组教师的速度比是2:3
其中合理的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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【题目】如图,一次函数y=ax+b与反比例函数y= (x<0)的图象交于点A.与x轴、y轴分别交于点B、C,过点A作AD⊥x轴于点D,过点D作DE∥AB,交y轴于点E.己知四边形ADEC的面积为6.
(1)求k的值;
(2)若AD=3OC,tan∠DAC=2.求点E的坐标.
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【题目】在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.
(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD.
(2)如图2,AC:AB=1: ,EF⊥CE,求EF:EG的值.
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【题目】在手工制作课上,老师组织七年级(2)班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七年级(2)班共有学生44人,其中男生人数比女生人数少2人,并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个.
(1)七年级(2)班有男生、女生各多少人?
(2)要求一个筒身配两个筒底,为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套,应该分配多少名学生剪筒身,多少名学生剪筒底?
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